Обработка данных по точности опыта
Дробный метод обработки. Обычно в опыте имеется несколько вариантов; например, в пятичленной схеме бывают следующие варианты с различными удобрениями: О, NP, NK, PK и NPK. Для каждого варианта имеется несколько параллельных делянок или сосудов, обычно от двух до шести, в зависимости от условий проведения опыта. Урожаи этих параллельных делянок или сосудов неодинаковы. Для каждого варианта в отдельности можно вычислить квадратическую ошибку средней данного варианта.
Предположим, что в опыте имелась четырехкратная повторность, и для варианта NP были получены следующие урожаи зерна овса в пересчете на 1 га: 20,4; 23,0; 22,9; 28,1 ц. Средний урожай овса по NP будет 23,6 ц. Урожаи отдельных делянок отклонялись от среднего на -3,2; -0,6; -0,7; +4,5 ц. Возведя величины отклонений в квадрат, сложив полученные квадраты и разделив их сумму на (n — 1), т. е. на 3, получим после извлечения квадратного корня величину основного отклонения урожая отдельной делянки для варианта NP. Разделив ее на √n = √4, т. е. на 2, получим квадратическую ошибку среднего, равную ±1,62 ц. Следовательно, урожай по NP можно характеризовать уже не только его средней величиной, но и ее квадратической ошибкой, показывающей дам надежность этой средней; в данном случае имеем 23,6 ± 1,62 ц. Ошибка выражена, как и средняя, в абсолютных величинах — в центнерах на 1 га. Ее легко пересчитать на процент от средней: принимая урожай в 23,6 ц за 100%, имеем m = 1,6 ц, или 6,8% от М.
Аналогичным образом можно поступить и при определении квадратической ошибки для других вариантов опыта. Например, при урожаях по NPK, равных 23,1; 25,3; 26,4; 29,6 ц, находим следующий средний урожай и его квадратическую ошибку: 26,1 ± 1,35 ц. Если нужно узнать действие калия на фоне азота и фосфора, то, вычитая из урожая по NPK, урожаи по NP, получаем прибавку, равную 2,5 ц (разность между двумя средними 26,1 и 23,6).
Ошибка разности этих средних будет равна
Величина ошибки разности по величине близка к самой разности, т. е. разность между средними будет малодостоверной и прибавка урожая от внесения калия сомнительной.
Такой метод обработки данных опыта часто применяется в исследовательских работах, и во многих случаях он вполне целесообразен. Его можно назвать дробным методом обработки результатов опыта, так как посредством этого метода выводим для каждого варианта свойственную ему одному ошибку, полученную на основе данных только этого варианта. Если в опыте было пять различных вариантов, то при дробной обработке результатов опыта будем иметь пять различных ошибок, характеризующих отдельные варианты опыта. Разности между вариантами тоже будут иметь в каждом случае свои ошибки в зависимости от того, какие варианты сравниваются. При пяти вариантах будут возможны десять различных сравнений или столько же различных ошибок разностей между средними.
Обобщенный метод обработки. Большое количество квадратических ошибок указывает на необходимость характеризовать точность опыта при помощи одной средней ошибки и для всех возможных в опыте сравнений.
Результаты опыта можно обработать в целом для всего опыта и получить одну ошибку, которая затем и применяется для характеристики достоверности различных сравнений между вариантами опыта. Для этого достаточно произвести следующие расчеты: вычислить для каждого варианта его среднюю, найти отклонения отдельных определений для каждого варианта от его средней, возвести их в квадрат; затем, вычислив квадраты отклонений для каждого варианта, подсчитать общую сумму всех квадратов отклонений отдельных определений от их средних ∑(∑v2), которая и будет характеризовать точность нашего опыта. Разделив эту сумму на n*(n—1)*l (где n — число повторений, а l — число вариантов в опыте) и произведя извлечение квадратного корня, получим среднюю квадратическую ошибку для всех вариантов опыта в целом; умножение ее на √2 даст ошибку разности двух средних.
Если при вычислении ошибки опыта мы будем для каждого варианта опыта самостоятельно устанавливать ошибку среднего, то получим ряд ошибок средних, достоверность вычисления которых будет невелика. Например, при работе с четырехкратной повторностью ошибка вычисления m достигает
m/√2*4= m/√8, или около 1/3 m.
Поэтому прибегают к вычислению ошибки в целом для всего опыта, считая, что отклонения от среднего арифметического для всех вариантов опыта однотипны.
При таком обобщенном способе обработки результатов опыта для получения суммы квадратов отклонений (∑v2) складывают квадраты всех отклонений для всех вариантов опыта. В этом случае основное отклонение будет равно
а ошибка средних арифметических
где N = nl — общее число всех делянок или сосудов в опыте; n — принятая в опыте повторность; l — число вариантов.
Знаменатель в формуле основного отклонения носит название числа степеней свободы. Он показывает, какое число независимых показаний лежит в основе его вычисления (урожаев отдельных делянок, сосудов); число степеней свободы равно числу показаний, уменьшенному на единицу.
Применение формулы σ = ±√∑(∑v2)/N-l основано на следующем рассуждении. При вычислении ∑v2 для каждого варианта мы имеем n показаний, или n — 1 степеней свободы; так как общее число вариантов — l, то для опыта в целом, суммируя все v2, мы используем данные, полученные на основе l (n — 1) степеней свободы, а так как N = ln,
l(n—1) = ln—1 = N—l.
При обобщенной обработке результатов опыта для всех вариантов опыта имеем одинаковые ошибки средних. Следовательно, ошибка опыта, или разности средних, будет равна
mD = ± √m2+m2 = ± m√2 = ± 1,41 m.
Обобщенная обработка может быть применена к результатам опытов с двукратной повторностью, при которой имеем:
т. е. ошибка равна основному отклонению.
В приведенном в табл. 4 примере показана система обработки результатов опыта, когда нет систематической ошибки.
Обобщенный метод обработки при наличии систематических ошибок. Если в опыте урожаи в различных повторностях были разновелики вследствие различного исходного плодородия, то иногда может быть применен разностный метод обработки результатов. Предположим (табл. 5), что урожаи по делянкам, удобренным NPK, были 23,1; 25,3; 26,4; 29,6 ц, а для соседних с ними делянок, удобренных NP, соответственно (табл. 6) 20,4; 23,0; 22,9; 28,1 ц. Разность между средними в этом случае будет 2,5 ц, и ошибка разности средних равна ± 2,11 ц. Между тем в опыте наблюдается систематическое возрастание урожаев от первого повторения к четвертому. Если произведем вычитание по парам для каждого повторения опыта отдельно, то получим следующие разности: 2,7; 2,3; 3,5; 1,5 ц. Квадратическая ошибка средней разности будет равна всего только ± 0,40 ц. Следовательно, мы вправе предположить, что, несмотря на изменение плодородия почвы по повторениям, действие калия в этом опыте было весьма устойчивым. Получение меньшей ошибки при этом разностном способе обработки результатов произошло оттого, что при первом способе обработки в число факторов, определявших расхождения между параллельными, была включена систематическая ошибка; первый же метод обработки результатов предусматривает отсутствие систематической ошибки. Устранить систематическую ошибку, вызванную различным плодородием в разных повторениях опыта, можно также и следующим образом. Для каждого из повторений опыта вычисляют средний урожай для делянок всех вариантов этого повторения, затем определяют средний урожай вообще для всех делянок опыта. Первая величина характеризует плодородие по отдельным повторениям, вторая — среднее плодородие всего участка, бывшего под опытом. Предположим, что урожай на делянке третьего повторения второго варианта был 37,5 ц, средний урожай для второго варианта по всем повторениям опыта был 39,2 ц, тогда отклонение урожая на нашей делянке от среднего для варианта будет 37,5—39,2 = -1,7 ц. Ho в этом опыте средний урожай для всех делянок третьего повторения был 40,1 ц, а средний урожай для опыта в целом был 41,0 ц. Следовательно, плодородие для третьего повторения было ниже на 41,0—40,1 = 0,9 ц, чем среднее плодородие участка. Таким образом, урожай на нашей делянке был ниже в результате падения плодородия почвы на 0,9 ц и отклонение от среднего можно считать равным — 1,7 — (40,1—41,0) = -0,8 ц. Получив такие исправленные отклонения от средних, можно вести дальнейшую обработку результатов опыта обычным способом, как это описано выше.
Сравнение различных методов обработки. Рассмотрим более детально различные способы обработки результатов опыта. Возьмем в качестве примера полевой опыт с установлением действия калия путем вычитания величины урожая, полученного по NP, из величины урожая, полученного по NPK. При дробной обработке результатов ошибка опыта вычисляется для каждого варианта в отдельности (см. табл. 5 и 6).
Результаты вычислений будут выражаться следующим образом.
Урожай по NPK 26,1 ± 1,35 ц и по NP 23,6 ± 1,62 ц. Ошибка разности по формуле -± √m1в2 + m2в2 будет равна
± √1,35в2 + 1,62в2 = ± √1,83 +2,61 = ± √4,44 = 2,11 ц.
Разность между средними для NPK и NP будет: 2,5 ± 2,11 ц.
При вычислении общей ошибки для опыта по обобщенному методу обработки производят вычисления квадратов отклонений для вариантов, но все они сразу суммируются (табл. 7).
Ошибка разности двух средних
m опыта = ± √1,49в2 + 1,49в2 = ± √2,22 + 2,22 = ± √4,44 = ± 2,11.
В нашем опыте, поскольку имеется всего два варианта, оба способа обработки должны привести к одинаковым результатам.
При этих способах вычисления получается большая ошибка разности средних; между тем имеются основания предположить, что в данном опыте большая ошибка вызывается различием в плодородии в разных повторениях. В этом случае вычисления производят по обобщенному разностному методу обработки и для каждого повторения в отдельности определяют разность между урожаями по NPK и NP (табл. 8).
Систематическую ошибку опыта, которая в данном случае обусловливается изменением плодородия почвы при переходе от одного повторения к другому, можно устранить, применяя и другой способ вычисления.
Ошибка разности между средними для двух сопряженных рядов определяется по формуле
m = ± √m1в2 + m2в2 - 2rm1m2,
где r — коэффициент корреляции.
Подставляя значение r в формулу ошибки разности, после сокращения имеем:
Сумма ∑v1в2 + ∑v2в2 определена ранее (табл. 7) и равна 53,32. Остается найти сумму произведений отклонений по повторениям (табл. 9).
Таким образом, применяя формулу определения ошибки разности для сопряженных рядов, приходим к тому же результату, что и при непосредственной обработке разностей.
Тот же самый результат может быть получен, если мы будем по повторениям вносить исправления отклонений, что и применяется для обработки результатов полевого опыта. С этой целью определяем средние урожаи по повторениям и отклонения их от среднего урожая для всего опыта (табл. 10).
Если бы плодородие почвы во всех повторениях было одинаковым, то и урожаи их были бы близки. Взяв отклонения от средних по вариантам и вычтя из них отклонения по повторениям, получаем исправленные отклонения, которые и возводим в квадрат (табл. 11).
Отсюда ошибка среднего для варианта, вычисленная по формуле
будет равна:
Ошибка же разности двух средних вычисляется по формуле mD = ± √m1в2 + m2в2. Так как в данном случае после исправления отклонений мы устранили их сопряженность, то имеем:
Этот способ вычисления ошибки опыта и применяется во всех случаях, когда урожаи по повторениям различны по величине.
